Laravel по-русски

Не знаю, почему у вас не получается.
Этот же код, только с передачей this.
Тест

Здравствуйте

Сколько по времени будет длиться стажировка?

Документация https://laravel.com/docs/5.4/migrations#indexes

Laravel 5.4 по умолчанию использует кодировку utf8mb4, которая включает в себя поддержку смайлов "emoji"
Если вы хотите использовать mysql 5.6, то можно в AppServiceProvider => boot добавить Schema::defaultStringLength(191);
либо пойти в config => database и в настройках mysql сменить кодировку utf8mb4 на utf8 и collation на utf8_unicode_ci, но тогда поддержки "emoji" не будет...

Теперь, что касается миграции...

Мускул же вам понятно написал причину ошибки.
Вы пытаетесь добавить столбец, который уже существует в таблице.
Вы уже создавали этот столбец в предыдущей миграции, верно? Если вы действительно хотите его изменить, то добавьте ->change()

$table->integer('user_id')->unsigned()->default(1)->change();
*должен быть установлен doctrine/dbal
--
Если вам не нужно менять столбец, а нужно только связать ключи, то эту строку вообще удалите, но учтите, что для связывания user_id должен быть unsigned, иначе опять выскочит ошибка.

Попробуйте эмулировать метод PUT в запросе

...
url: '/change',
method: 'POST',
data: {id: item_id, public : 0, _method: 'PUT'},
...

$articles = App\Article::find($id);

@foreach($articles as $article)

<ul>
  <li>{{$article->title}}</li>
  <li>{{...}}</li>
  <li id="time"></li>
</ul>

@endforeach

1. Про foreach одной статьи вам уже написали.
2. В цикле id="time" ? - хммм ... видимо действительно :примерный код без деталей:

Теперь по делу.
Присваивать из ПХП в javascript или перегонять что-то в json не нужно.

Как вариант, вы можете тегам li присвоить атрибут data, в который можете записать время.
Судя по вашему скрипту, вам нужен timestamp. Вот его и присвойте.

@foreach($articles as $article)

<ul>
  <li>{{$article->title}}</li>
  <li>{{...}}</li>
  <li data-time="{{ $article->created_at->timestamp }}">{{ $article->created_at->format('Нужный вам формат') //или оставьте пустым }}</li>
</ul>

@endforeach

Далее javascript

    var li_time = document.querySelectorAll('[data-time]'),timers =[];

    for (var key in li_time) {
        if (li_time.hasOwnProperty(key)) {
            setTimer(li_time, key);
        }
    }

    function setTimer(lis, i) {
        var li = lis[i];
        timers[i] = setInterval(function() {
            li.innerHTML = parseInt(new Date().getTime() / 1000) - parseInt(li.dataset.time); // Или любая ваша реализация
        }, 1000);
    }

Вот и всё. Скрипт пробежится по вашим li и запустит setInterval с вашей реализацией для каждого элемента.

Судя по картинке с заголовками, нет там X-CSRF-TOKEN.

Каким скриптом загружаете картинку?
Осмелюсь предположить, что вы картинку отправляете каким-то сторонним загрузчиком, который не использует jQuery ajax.
Потому и $.ajaxSetup не работает.

Если это так, то смотрите документацию скрипта и ищите как добавить заголовки.

В 5.0 присваивать имена маршрутам так
https://laravel.com/docs/5.0/routing#named-routes

Если вы перенаправляете на главную через ->route('/'), то в вашем случае надо в роутах написать так

Route::get('/',[
    'as' => '/', 'uses' => 'WelcomeController@index'
]);

Но можно и не давать никакие имена маршрутам. В контроллере сделайте редирект на url: return redirect('/')  или action.
Тем более на главную страницу...

Да, в версиях ниже нет такого... видимо добавили позже, но тогда можно написать свой метод и вызвать до валидации.

class CategoryRequest extends Request
.....

public function validate()
    {
        $this->ВашМетод();
        parent::validate();
    }


private function ВашМетод()
{
  if(empty($this->request->get('sysname'))) {
    $this->request->set('sysname', Slug::make($this->request->get('name'), '_'));
      // Ну или еще как...
    }
  }


public function rules()
    {
        return [
            'id_parent' => 'exists:categories,id',
            'name' => 'required',
            'sysname' => 'sysname|unique:categories,sysname,'.$this->route('categories'),
            'icon' => 'image'
        ];
    }

Как вариант, переопределить метод prepareForValidation() в CategoryRequest

class CategoryRequest extends Request
.....

protected function prepareForValidation()
{
  if(empty($this->request->get('sysname'))) {
    $this->request->set('sysname', Slug::make($this->request->get('name'), '_'));
      // Ну или еще как...
    }
  }


public function rules()
    {
        return [
            'id_parent' => 'exists:categories,id',
            'name' => 'required',
            'sysname' => 'sysname|unique:categories,sysname,'.$this->route('categories'),
            'icon' => 'image'
        ];
    }

Т.е. получается, что перед валидацией проверяем, если пустой sysname, то вставляем значение, которое нужно.

Так будет точно работать, но... возможно, можно как-то и по другому...

Mysql documentation

$table->increments('id') - это (integer, unsigned), что означает четырех-байтовое целое число, диапазон чисел от 0 до 4,294,967,295
И по умолчанию длина равна 10

Роуты тут не при чем.
Пересмотрите систему наследования.

return view('site');

Здесь вы показываете общий шаблон site, но site понятия ничего не имеет о header

Для того, что бы header показался, вам нужно показать наследника общего шаблона, а у вас это header

return view('header');

Так будет работать
--
Тем не менее, в конечном итоге, вы так делать не будете, т.к. header - это всего лишь кусок, который вы будете показывать в наследнике.
Еще раз почитайте про Blade Templates

Route::post('/ajaxController', 'AjaxController@index');

В методе @index, возможно буква e или x в русской раскладке. Либо в самом контроллере в методе такая ошибка.  .
--
Не может быть такое?