Этим страдают все документации. Писать хорошую документацию тяжело. Elixir описан в package.json

Если у вас его нет, возможно у вас Laravel не 5+ версии. Package.json в корне проекта содержит этот и другие пакеты необходимые для использования elixir.  Но по сути, вам не обязательно использовать его, можно пользоваться чистым Gulp. Смысл этого блока == шпаргалка для "знатоков", которые знакомы с gulp.

Если вы установили все, то вам достаточно запустить команду gulp - после этого у вас появится собранный Vue компонент с CSS, который идет в комплекте.

И если все прошло успешно (файлы js и css появились в public) дописываете файл галпа под свои нужды.